Loading...

Senin, 15 Februari 2010

PELUANG MTK

MAKALAH
KONSEP DASAR MATEMATIKA II
PELUANG
Disusun untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Matematika



Disusun oleh:
Setyo Nanang Tri Biantoro (292008024/G)
Alustina Isyuniarsih (292008090/G)
Hermawan (292008191/G)
Lita Riswiarti (292008211/G)


FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
S1 PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA
SALATIGA





Teori Peluang

Hitung peluang mula-mula dikenal pada abad ke-17 yang bermula dari permainan sebuah dadu yang dilempar.Peluang (kemungkinan,probability) dari permukaan dadu yang tampak ketika dilempar,diamati dan dihitung,perhitungan sejenis ini berkembang cukup pesat menjadi teori peluang yang banyak pemakaiannya dalam kehidupan sehari-hari.Dalam bepergian kita sering mempertanyakan apakah terjadi hujan hari ini.Dalam berdagang kita selalu berfikir tentang kemungkinan untuk mengambil keuntungan.


Pengertian Dasar

Ruang Sampel
Ruang sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan,biasanya dilambangkan dengan S.
Contoh:
Ada 2 uang logam dan 1 buah dadu
Pelemparan uang logam 1 kali
Ruang sampel : S = { A, G }
P adalah kejadian yang diharapkan muncul gambar, maka P = {G}
Pelemparan 2 uang logam secara bersama-sama
Ruang sampel : S = { AA,AG,GA,GG}
A = kejadian muncul angka semua = {AA}
Dadu dilempar sebanyak 2 kali
Ruang sampel :
A= kejadian jumlah mata dadu yang tampak pada lemparan pertama dan kedua sama dengan B
= {(2,6); (3,5); (4,4); (5,3); (6,2) }
B=kejadian mata dadu yang tampak pada lemparan pertama dan lemparan kedua hasilnya sama
= {(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5);(6,6)}
C=kejadian mata dadu yang tampak pada lemparan kedua adalah 4
={(1,4);(2,4);(3,4);(4,4);(5,4);(6,4)}


Kejadian
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel.Kejadian dapat terdiri dari satu titik sampel yang disebut kejadian sederhana,sedangkan kejadian yang terdiri dari lebih dari titik sampel disebut kejadian majemuk.
Jadi kejadian majemuk merupakan gabungan dari beberapa kejadian sederhana.

Ruang Nol
Ruang nol adalah himpunan bagian dari ruang sampel yang tidak memuat anggota.
Elemen atau anggota dari ruang sampel dinamakan titik sampel.


Gambar 1. Ruang Sampel
Gambar 1 merupakan diagram ruang sampel S={a, b, c, d, e, f, g} yang terdiri dari titik sampel a, b, c, d, e, f, dan g. Kejadian A={a, b, c}, kejadian B={b, c, d, e}, kejadian C={c, d, f}, dan D={e} merupakan kejadian bagian dari ruang sampel S.

Irisan Dua Kejadian
Irisan Dua Kejadian A dan B, dinotasikan dengan A N B, adalah kejadian yang memuat semua titik sampel yang ada di A dan juga ada di B. Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian saling terpisah (saling asing) apabila dua kejadian tersebut tidak memiliki unsur persekutuan, atau A N B = { }. Untuk ruang sampel pada Gambar 1.1.1, A N B = {b, c}, A N C = {c}, A N D = { }, B N C = {c, d}, B N D = {e}, dan C N D = { }. Kejadian A dan D dikatakan saling terpisah.

Gabungan Dua Kejadian
Gabungan dua kejadian A dan B, dinotasikan dengan A U B , adalah kejadian yang memuat semua titik sampel yang ada di A atau B. Untuk ruang sampel pada Gambar 1.1.1, A U B = {a, b, c, d, e}, A U C = {a, b, c, d, f}, A U D = {a, b, c, e}, B U C = {b, c, d, e, f}, B U D = {b, c, d, e}, dan C U D = {c, d, e, f}.

Komplemen Suatu Kejadian
Komplemen suatu kejadian A, dinotasikan dengan A', adalah himpunan semua titik sampel di S yang bukan anggota A. Untuk ruang sampel pada Gambar 1.1.1, A' = {d, e, f, g} dan B' = {a, f, g} .
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, kemungkinan hasil percobaannya adalah:
Jika ditinjau dari angka yang muncul maka ruang sampelnya adalah
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Elemen 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 merupakan titik sampel.
Jika ditinjau dari keadaan angkanya maka ruang sampelnya adalah
S = {genap, gasal}
Elemen genap atau gasal merupakan titik sampel.
Pada percobaan pengambilan sebuah kartu bridge, kemungkinan hasil percobaannya adalah
Jika ditinjau dari jenis kartu maka ruang sampelnya adalah
S = {♠, ♣, ♥, ♦}
Jika ditinjau dari warna kartu maka ruang sampelnya adalah
S = { merah, hitam }
Percobaan pelemparan 2 buah mata dadu, ruang sampel-nya adalah
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
Jika A adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama dengan 1 maka A = { }, kejadian mustahil.
Jika B adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama dengan 7 maka B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}.
Jika C adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama dengan 11 maka C = {(5,6), (6,5)}.
Jika D adalah kejadian munculnya mata dadu pertama adalah 5 maka
D = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}.
Irisan kejadian A dan B adalah A N B = {}.
Irisan kejadian B dan C adalah B N C = {}.
Irisan kejadian C dan D adalah C N D = {(5, 6)}.
Gabungan kejadian A dan B adalah A U B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} = B.
Gabungan kejadian B dan C adalah B U C = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (5,6), (6,5)}.
Gabungan kejadian C dan D adalah C U D = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,5)}.


Kaidah Pencacahan
Dalam setiap permasalahan mengukur ketidak pastian itu disebabkan karena suatu tindakan menghasilkan kadang-kadang satu akibat kadang-kadang pula akibat yang lain. Umpamanya kalau sebutir dadu digulingkan sebagai akibatnya dapat timbul sisi bermata 1,2,3,4,5,atau 6. Mana sisi yang timbul mana tidak dapat dikatakan dengan pasti
Akibat melempar dadu ada salah satu dari 6 kejadian yang terjadi,yaitu munculnya mata 1,2,3,4,5,dan 6. Kegiatan melempar dadu dinamakan suatu tindakan itu dapat diulang beberapa kali. Dan rangkaian titik itu disebut suatu percobaan. Tindakan yang dilakukan satu kali pun disebut suatu percobaan.
Aturan pengisian tempat yang tersedia
Misalkan terdapat 5 buah tempat duduk yang tersedia untuk 5 orang yang akan mendudukinya,maka banyaknya cara (susunan) orang yang duduk ditempat duduk itu adalah : 5x4x3x2x1 cara= 120 cara (susunan)
Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut:
Orang pertama memiliki 5 pilihan tempat duduk (5 cara)
Orang ke-2 memiliki 4 pilihan tempat duduk (4cara)
Orang ke-3 memiliki 3 pilihan tempat duduk(3 cara)
Orang ke-4 memiliki 2 pilihan tempat duduk (2 cara)
Orang ke-5 memiliki 1 pilihan tempat duduk (1cara)
Jadi, banyaknya cara (susunan) untuk mengisi 5 buah tempat duduk tempat tersebut adalah 120 cara. Jika terdapat n buah tempat yang akn di tempati olleh n orang maka banyaknya cara (susunan) untuk mengisi tempat itu adalah:




Notasi Faktorial
Untuk tiap n bilangan asli, sebagai n faktorial (notasi n)
Didefinisikan:



n! = 1 dan 0! = 1
Contoh: 0! = 1

1!=1
2!=2x1=2
3!=3x2x1=6
4!=4x3x2x1=24
5!5x4x3x2x1=120
Permutasi
Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur itu berbeda) adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan.
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia dinyatakan dengan notasi nPr .Cara penulisan notasi lainnya:
nPr 〖,P〗_r^n , atau P(n,r)
Permutasi unsur-unsur yang berbeda
Banyaknya permutasi dari 3 huruf yang berbeda A,B,dan C adalah susunan ketiga huruf itu dengan urutan yang berbeda,yakni:
ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,dan CBA
Atau sebanyak 3x2x1=6 susunan yang berbeda.Tiap susunan disebut permutasi 3 unsur yang diambil dari 3 unsur yang tersedia:P(3,3)
Secara umum dapat disimpulkan bahwa:
Banyaknya permutasi n unsur adalah:




Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia adalah:




Permutasi dengan beberapa unsur yang sama
Banyaknya permutasi dari 3 huruf yang sebagian sama A,A,dan B dapat ditentukan dengan pendekatan 3 huruf yang berbeda,yaitu dengan cara membubuhkan indeks pada unsur yang sama,menjadi:A1,A2 , dan B.
Banyaknya permutasi dari 3 huruf yang berbeda:
A1A2B,A1BA2,A2A1B,A2BA1,BA1A2,dan BA2A1 karena A1 sama dengan A2,maka bila indeks dihilangkan,bahwa permutasi:
A1A2B dan A2A1B adalah permutasi AAB.
A1BA2 dan A2BA1 adalah permutasi ABA.
BA1A2 dan BA2A1 adalah permutasi BAA.
Jadi,banyaknya permutasi 3 huruf (A,A,dan B) dengan 2 huruf yang sama adalah=3 susunan.
Secara umum dapat disimpulkan bahwa:
Banyaknya permutasi=(Permutasi unsur yang tersedia)/(permutasi unsur yang sama)
Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k unsur yang sama (k≤n),dapat ditentukan dengan rumus:




Dengan: n=banyaknya unsur yang tersedia
k=banyaknya unsur yang sama
Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k unsur yang sama dan l unsur yang sama lainnya (k+1≤n) dapat ditentukan dengan rumus:

Permutasi Siklis
Banyaknya permutasi dari 3 huruf A,B,dan C yang disusun pada suatu kurva tertutup yang berbentuk lingkaran,dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:






Jadi banyaknya susunan dari 3 huruf A,B,dan C yang disusun pada kurva berbentuk lingkaran adalah (3-1)!=2!=2 susunan.
Penempatan unsur-unsur yang tersedia pada suatu kurva berbentuk lingkaran seperti diatas disebut permutasi siklis atau permutasi sirkuler.
Secara umum dapat disimpulkan bahwa:
Banyaknya permutasi siklis dari n unsur yang tersedia,dapat ditentukan dengan rumus:



Kombinasi
Kombinasi dari sekumpulan unsur adalah cara penyusunan unsue tersebut secara berbeda tanpa memperhatikan urutannya.
Jadi suatu kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur ini berbeda) adalah suatu pilihan dari r unsur tadi tanpa memperlihatkan urutannya.
Dilambangkan dengan:nCr atau [■(n@r)] atau C(n,r).Banyaknya permutasi r unsur yang dari n unsur yang tersedia,dengan memperhatikan urutannya adalah:




Banyaknya kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia,tanpa memperhatikan urutannya adalah:




Kaidah Perkalian
Sebelum menuju ke kaidah perkalian kita awali dengan pengamatan percobaan sederhana. Sebuah diagram pohon dapat digunakan dalam perhitungan ruang sampel. Misalnya pada percobaan 2 kali pelemparan sebuah mata uang. Himpunan hasil yang mungkin dapat diperoleh oleh seluruh garis yang ditunjukkan dalam diagram pohon berikut:


Gambar 1.2.1 Diagram pohon untuk dua kali lemparan mata uang
Dalam setiap percobaan ada 2 kemungkinan hasil angka (A) atau gambar (G). Percobaan dengan 2 kali pelemparan mata uang didapat hasil sebanyak 22 = 4 buah titik sampel. Jadi ruang sampel S = {GG, GA, AG, AA}.
Contoh :
Jika dari kota A menuju kota B ada 3 jalan yaitu jalur p, q, atau r sedangkan dari kota B ke kota C ada 2 jalan yaitu jalur a atau b maka dari kota A ke kota C dapat ditempuh melalui 3 x 2 jalur yang berbeda, yaitu:
S = { (p ,a), (p ,b), (q ,a), (q ,b), (r ,a), (r ,b) }
Selanjutnya akan kita pelajari suatu kaidah yang berkaitan dengan percobaan seperti contoh di atas.
Dalam melakukan dua percobaan, kaidah perkalian mengatakan bahwa:
Jika satu percobaan memiliki m hasil yang mungkin dan percobaan yang lain memiliki n hasil yang mungkin, maka jika dua percobaan tersebut dilakukan bersamaan memiliki mn hasil yang mungkin.
Secara umum, dikatakan bahwa:
Misalkan r percobaan dapat dilakukan. Jika percobaan ke-i memiliki ni hasil yang mung-kin, 1ir, maka jika semua percobaan itu dilakukan bersamaan memiliki n1, n2, n3, ..., nr hasil yang mungkin.
Sebuah komite yang terdiri atas 2 orang masing-masing mewakili siswa kelas 1 dan kelas 2 akan dipilih. Jika calon dari kelas 1 ada 6 orang dan calon dari kelas 2 ada 4 orang, maka ada 6 × 4 = 24 komite berbeda yang dapat dipilih.
Bila sepasang dadu dilemparkan sekali, berapa banyak titik sampel dalam ruang sampelnya ?.
Penyelesaian :
Jika sepasang dadu dilemparkan satu kali maka dadu pertama akan muncul 6 cara sedangkan dadu kedua .akan muncul 6 cara juga
Dengan demikian, sepasang dadu tersebut dapat terjadi dalam 6 × 6 = 36 cara.
Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar secara bersamaan, hasil yang mungkin adalah:
Untuk dadu; jika hasil dari lemparan mata dadu adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, maka ada 6 hasil yang mungkin,
Untuk uang logam; jika hasil lemparan uang logam ada gambar dan angka, maka ada 2 hasil yang mungkin.
Sehingga dengan kaidah perkalian diperoleh banyaknya elemen dari ruang sampel ada 6 × 2 = 12 hasil yang mungkin.
Diketahui empat angka 1, 3, 4, 9 tentukan banyaknya bilangan yang dapat dibuat dari angka tersebut yang terdiri dari
a. 2 angka / digit.
b. 2 angka tetapi tidak boleh ada angka yang sama.
Penyelesaian :
Untuk mempermudah sediakan dua kotak yang akan diisi jumlah kemungkinan tiap kotak, yaitu kotak pertama untuk letak angka puluhan dan kotak kedua untuk angka satuan.

Gambar 1.2.2 Menyusun dua angka pada deretan dua kotak
Kotak pertama ada 4 kemungkinan angka. Kotak kedua ada 4 kemungkinan, karena angka yang muncul di kotak pertama boleh muncul di kotak kedua. Jadi banyaknya bilangan yang dimaksud adalah 4 × 4 = 16.
Dengan cara yang sama dengan penyelesaian soal 1, tetapi karena tidak boleh sama angkanya maka kalau angka puluhan sudah muncul kemungkinan angka satuannya berkurang satu dan jumlah kemungkinannya adalah 4 × 3 = 12.

Kaidah Penjumlahan
Dalam melakukan dua percobaan, kaidah penjumlahan mengatakan bahwa:
Jika satu percobaan memiliki m hasil yang mungkin dan percobaan yang lain memiliki n hasil yang mungkin, maka ada m+n hasil yang mungkin jika tepat satu percobaan dilakukan.
Secara umum, dikatakan bahwa:
Misalkan r percobaan dapat dilakukan. Jika percobaan ke-i memiliki ni hasil yang mungkin, maka ada n1+n2+n3+…+nr hasil yang mungkin jika tepat satu percobaan dilakukan.
Contoh :
Sebuah bola diambil dari sebuah mangkuk yang berisi 4 bola merah dan dari sebuah kaleng yang berisi 6 bola putih yang masing-masing bernomor. Hasil yang mungkin adalah: untuk mangkuk ada 4 hasil dan untuk kaleng ada 6 hasil. Sehingga dengan kaidah penjumlahan, hasil yang mungkin ada 4 + 6 = 10.
Sebuah program komputer memiliki input yang valid berupa sederetan huruf atau angka yang disebut string. String ini hanya terdiri dari 4 huruf atau angka, atau panjang string adalah 4. Berapa banyak input untuk program tersebut yang mungkin?
Penyelesaian:
Jika huruf atau angka dalam sebuah string boleh sama, maka: String huruf ada sebanyak : 26×26×26×26 = (26)4 = 456.976. String angka ada sebanyak: 10×10×10×10 = (10)4 = 10.000. Sehingga dengan kaidah penjumlahan, banyaknya string input adalah 456.976 + 10.000 = 466.976
Jika huruf atau angka dalam sebuah string tidak boleh sama, maka: String huruf ada sebanyak : 26×25×24×23 = 358.800.
String angka ada sebanyak: 10×9×8×7 = 5.840.
Sehingga dengan kaidah penjumlahan, banyaknya string adalah 358.800 + 5.840 = 364.640

PELUANG SUATU KEJADIAN
Pada pelemparan sebuah dadu, setiap mata dadu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul. Karena banyak mata dadu ada 6, maka peluang muncul setiap mata dadu 5 adalah □(1/6), yaitu peluang muncul mata dadu 5 adalah □(1/6) dan peluang muncul mata dadu 6 adalah □(1/6), serta
peluang muncul salah satu dari mata dadu 5 atau 6 adalah □(2/6)
Secara umum, peluang kejadian A dapat dirumuskan sebagai berikut ini
P(A) = □(((n(A)))/((n(S))))
n(A) = banyak anggota himpunan A (kejadian)
n(S) = banyak anggota himpunan S (ruang sampel)

contoh soal... contoh soal-peluang suatu kejadian
Percobaan: Pelemparan mata uang logam satu kali
n(S) = 2
A = kejadian muncul hasil gambar
n(A) = 1
P(A) = □((n(A))/n(s) )=□(1/2)
Percobaan : Peleparan satu mata uang logam dua kali
n(S) = 4
A = kejadian hasil pelemparan adalah angka semua
n(A) = 2
P(A)= □((n(A))/(n(S)))=□(2/4)=□(1/2)
Menghitung Peluang Dengan Pendekatan Frekuensi
Pada percobaan melempar sekeping mata uang logam,yang disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut:
Banyaknya lemparan 10 15 20 25 30
Frekuensi munculnya gambar 4 8 11 12 16
Frekuensi relatif munculnya gambar □(4/10) □(8/15) □(11/20) □(12/25) □(16/30)
~
Pada lemparan sebanyak 100 kali,frekuensi munculnya gambar 4+8+11+12+16=51.
Jadi frekuensi nisbi (relatif)=□(51/100)=0,51
Frekuensi nisbi (relatif) dari munculnya hasil yang dimaksud adalah perbandingan antara banyaknya hasil yang dimaksud muncul dengan banyaknya percobaan yang dilakukan.
Dengan pengertian bahwa nilai peluang suatu kejadian dapat didekati dengan frekuensi relatif suatu kejadian,dapat dirumuskan sebagai berikut:
Bila suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali.Ternyata kejadian A muncul sebanyak k kali,maka frekuensi relatif munculnya kejadian A atau F(A)



Bila nilai n makin besar tak terhingga maka nilai □(k/n) cendrung konstan mendekati nilai tertentu.Nilai tertentu ini adalah peluang munculnyakejadian A atau P(A),yakni:






Menghitung Peluang Dengan Pendekatan Defenisi Peluang Klasik
Pada percobaan melempar sekeping mata logam secara berulang-ulang,maka frekuensi relatif munculnya sisi gambar (G) dan sisi gambar angka (A) mempunyai kesempatan yang sama yakni mendekati nilai □(1/2)
P(G)= □(1/2) P(G)=P(A)= □(1/2)

P(A)=□(1/2)

Definisi peluang klasik:
Misalkan dalam suatu percobaan menyebabkan dapat munculnya salah satu dari n hasil yang mempunyai kesempatan yang sama.dari n hasil tadi,kejadian A muncul sebanyak k hasil,maka peluang kejadian A atau P(A) adalah :

Definisi peluang dapat juga ditetapkan dengan memanfaatkan pengertian ruang contoh sebaagai berikut:
- jika s adalah ruang c

FREKUENSI HARAPAN ( FH )
Frekuensi harapan yaitu banyak kejadian atau peristiwa yang diharapkan dapat terjadi pada sebuah percobaan.
Rumus:



Keterangan:
Fh ( A ) : Frekwensi harapan suatu kejadian A
P ( A ) : Peluang kejadian A
n : Banyaknya suatu kejadian

Contoh :
Jika suatu uang logam dilempar sebanyak 30 kali.Hitunglah frekwensi harapan munculnya sisi ( A ).
Penyelesaian :
Peluang munculnya angka ( A )
P ( A ) = □(1/2)
dilempar sebanyak 30 kali,maka frekwensi harapannya yaitu:
Fh ( A ) = □(1/2) x 30
= 15

Jika sebuah dadu berisi enam dilempar sebanyak 30 kali berturut-turut,maka hitunglah frekwensi harapan munculnya:
Mata dadu 5
Mata dadu prima
Penyelesaian:
Peluang munculnya mata dadu 5
P ( 5 ) = □(1/6)
Fh ( 5 ) = P ( 5 ) x n
= □(1/6) x 30
= 5


Peluang munculnya mata dadu prima
P (prima) = □(3/6)=□(1/2)
Fh (prima) = P (prima) x n
= □(1/2) x 30
= 15

PELUANG KOMPLEMEN SUATU KEJADIAN

Komplemen dari kejadian A adalah himpunan semua anggota ruang sampel yang bukan anggota dari kejadian A
Diperoleh hubungan berikut:
A’ = S – A
n(A’) = n(S) – n(A)
□(((n(A')))/((n(S))))=□(((n(S)))/((n(S))))=□(((n(A)))/((n(S))))
P(A’) = 1 – P(A)
Simpulan:
Rumus komplemen dari kejadian A adalah :




Contoh :
Peluang kesebelasan Indonesia memenangkan pertandingan adalah 0,75. Peluang kesebelasan Indonesia tidak memenangkan pertandingan adalah:

P(A') = 1-P(A)
= 1 - □(75/100=□((100-75)/100)) □(=25/100)=0,25


Percobaan pelemparan dua buah dadu
Banyak hasil yang mungkin:
n(S) = 12
A = kejadian muncul mata dadu yang jumlahnya 12
n(A) = 1
P(A) = □(n(A)/n(S) )=□(1/36)
A' = kejadian muncul mata dadu yang jumlahnya bukan 12


P(A') = 1 - P(A)
= 1 - □(1/36=) □((36-1)/36=) □(35/36)=0,972

Jadi, peluang muncul mata dadu yang jumlahnya bukan 12 adalah 0,972


ATURAN PENJUMLAHAN DALAM PELUANG KEJADIAN MAJEMUK
Contoh:
Pelemparan dadu saat sekelompok orang bermain ular tangga
Peluang hasil lemparan muncul mata dadu 5 :
P(A1) = □(1/6)
Peluang hasil lemparan muncul mata dadu 6:
P(A2) = □(1/6)
A = hasil lemparan muncul mata dadu lebih dari 4 = {5,6}
P(A) = □(2/6)=□(1/6)+□(1/6)=P(A1)+P(A2)
Jadi,peluang hasil lemparan muncul mata dadu 5 atau muncul mata dadu 6 dapat ditentukan dengan menjumlahkan masing-masing peluang kejadiannya.
Diketahui S suatu ruang sampel dari suatu percobaan A dan B merupakan kejadian dalam ruang sampel S
Sifat himpunan:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
□((((A∪B)))/((n(S))))=□(((n(A)))/((n(S))))+□(((n(B)))/((n(S))))-□(((n(A∩B)))/((n(S))))
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Apabila A dan B merupakan dua kejadian yang saling lepas, yaitu A ∩ B = ∅ , maka berlaku
n(A ∩ B) = 0
A ∩ B) = □(((n(A ∩ B)))/((n(S))))
=0
Sehingga:
P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - (A ∩ B)
= P(A) + P(B) – 0
= P(A) + P(B)
Dari satu paket kartu remi, diambil satu buah kartu n(S)= 52
Berapa peluang terambil kartu hati atau kartu as?
A = kejadian terambil kartu hati
n(A) = 13
P(A)= (n(A))/(n(S))=□(13/52)=□(1/4)
B= kejadian terambil kartu as
n(B) = 4
P(B) = (n(B))/(n(S))=4/52=1/13
A ∩ B = terambil kartu as hati
n(A ∩ B) = 1
P(A ∩ B) = (n(A ∩ B))/(n(S))=1/52
Jadi, peluang terambil kartu hati atau kartu as adalah :
P(AUB)= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= 13/52 +4/52-1/52
= 16/52



ATURAN PERKALIAN DALAM PELUANG KEJADIAN MAJEMUK
Secara umum, apabila diketahui:
Percobaan I dengan ruang sampel S1 dan A1 merupakan kejadian
Percobaan II dengan ruang sampel S2 dan A2 merupakan kejadian setelah A1 terjadi, serta
Kejadian A1 ∩ A2 : A1 dan A2 keduanya terjadi
Maka diperoleh :

n(A1 ∩ A2) = n(A1) x n(A2)
n(S) = n(S1) x n(S2)
P(A1 ∩ A2) = ((n(A_1 ∩ A_2 ) ))/(( n(S)))=((n(A_1 )x n(A_2 )))/((n(S_1 ) )x n(S_2)))
= ((n(A_1 )))/((n(S_1 ))) x ((n(A_2 )))/((n(S_2 )))
= P(A1) x P(A2)


Jadi, jika peluang kejadian A1 adalah P(A1) dan peluang kejadian A2 adalah P(A2), maka peluang kejadian A1 dan A2 sekaligus terjadi adalah:





Contoh :
Suatu kotak berisi 4 bola merah dan 6 bola putih
Dari kotak tersebut diambil satu bola, dikembalikan, kemudian diambil satu bola lagi. Tentukan peluang terambil bola merah pada pengembalian pertama dan kedua.
Jawab:
Banyak hasil yang mungkin : n(S1) = 10
A1 = Kejadian terambil bola merah
Banyak hasil yang diharapkan: n(A1)= 4
Bola pengembalian I dikembalikan, kemudian dilakukan pengembalian II:
Banyak hasil yang mungkin : n(S2) = 10
A2 = Kejadian terambil bola merah
Banyak hasil yang diharapkan : n(A2) = 4
Percobaan: dilakukan pengambilan I dan II
Banyak hasil yang mungkin:
n(S) = n(S1) x n(S2)
= 10 x 10
= 100
A1 ∩ A2 = kejadian terambil bola merah pada pengambilan I dan II
Banyak hasil yang diinginkan:
n(A1 ∩ A2) = n(A1) x n(A2)
= 4 x 4
= 16
Peluang kejadian A terjadi adalah:
P(A1 ∩ A2) = (n(A1 ∩ A2)/)/(n(S))=16/100=8/50
Jadi, peluang terambil bola merah pada pengambilan I dan II adalah 8 : 50
Dari kotak di atas diambil satu bola, tanpa dikembalikan, kemudian diambil satu bola lagi. tentukan peluang terambil bola merah pada pengambilan I dan II
jawab:
Pengambilan I:
banyak hasil yang mungkin: n(S1) = 10
A1 = kejadian terambil bola merah
Banyak hasil yang diharapkan: n(A1) = 4
Bola hasil pengambilan I tidak dikembalikan, kemudian dilakukan pengambilan II:
Banyak hasil yang mungkin : n(S2) = 9
A2 = kejadian terambil bola merah
Banyak hasil yang diharapkan: n(A2) = 3
Percobaan : dilakukan pengambilan I dan pengambilan II
Banyak hasil yang mungkin:
n(S) = n(S1) x n(S2)
= 10 x 9
= 90
A1 ∩ A2 = kejadian terambil bola merah pada pengambilan I dan II
Banyak hasil yang diharapkan:
n(A1 ∩ A2) = n(A1) x n(A2)
= 4 x 3
= 12
Peluang kejadian A terjadi adalah :
P(A1 ∩ A2) = (n(A1 ∩ A2))/(n(S))=12/90
Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan rumus :






Pengambilan dengan pengembalian
Peluang terambil bola merah pada pengambilan I:
P(A1) = 4/10
Peluang terambil bola merah pada pengambilan II:
P(A2) = 4/10
Peluang terambil bola merah pada pengambilan I dan II:
P(A) = P(A1) x P(A2)
= 4/10×4/10=16/100
Pengambilan tanpa pengembalian
Peluang terambil bola merah pada pengambilan I:
P(A1) = 4/10
Peluang terambil bola merah pada pengambilan II:
P(A2) = 3/9
Peluang terambil bola merah pada pengambilan I dan II:
P(A) = P(A1) x P(A2)
= 4/10 x 3/9
= 12/90
PELUANG KEJADIAN BEBAS Dan TAK BEBAS
Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika



Contoh:
Dalam tas I terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam. Dalam tas II terdapat 3 bola putih dan 5 bola hitam.
Sebuah bola diambil dari masing-masing tas.
a) Keduanya berwarna putih
b) Keduanya berwama hitam
Jawab:
Misal
A = bola putih dari tas I
B = bola putih dari tas I
P(A) = □(4/6)
P(B) = □(3/8)




_ _
P(A) = □(2/6) P(B) = □(5/8)
a. P(A n B) = P (A) . P (B) = □(4/6) .□(3/8)=□(1/4)
_ _ _ _
b. P((A) n P(B)) = P(A). P(B) = □(2/6) .□(5/8)=□(5/24)

Jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka berlaku





Contoh:
Pada pelemparan sebuah dada merah (m) dan sebuah dadu putih (p).
Maka: S={(1,1), (1,2), .....,(1,6), (2,1),(2,2),.....(6,6)}
n(S) - (6)2 = 36
A : Kejadian muncul m + p = 6 {(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)}
n(A) = 5
B : Kejadian muncul m + p = 10 {(4,6), (5,5), (6,4)}
n(B) = 3
P(A) = □(5/36) P(B) = □(3/36)
AUB :Kejadian muncul m + p = 6 atau m + p = 10 { (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (4,6) (5,1) (5,5) (6,4) }
n(AUB) = 8
P(AUB) = □(8/36) =P(A) + P(B)
A dan B kejadian yang saling asing.

Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling asing maka berlaku


Contoh:
Dalam pelemparan sebuah dada S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan ganjil = { 1, 3, 5 } n(A) = □(3/6)
B : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan prima = {2, 3, 5} n(B) = □(3/6)
P(AUB) = □(4/6) =P(A) + P(B)
A dan B kejadian yang tidak saling asing.

PELUANG KEJADIAN BERSYARAT
Suatu kejadian bersyarat bila suatu kejadian B mempengaruhi atau terjadi dengan syarat kejadian A terjadi lebih dahulu.
RUMUS:
Peluang kejadian B mempengaruhi A ditulis:
P(B∖A),maka




Contoh:
Dari seperangkat kartu bridge diambil satu kartu secara berturut-turut sebanyak dua kali.Tentukan peluang bahwa yang diambil:
a.Pertama AS dan kedua King
b.Salah satu AS dan King
Penyelesaian:
a.Urutan diperhatikan,maka:
P(A)=(n(A))/(n(S))=4/52
P(B∖A)=(n(B))/(n(S)-1)=4/51
n(S)-1 karena satu kartu sudah diambil dan tidak dikembalikan lagi,sehingga:
P(A∩B)=P(A)xP(B∖A)=4/52 x 4/51=4/663

b.Urutan tidak diperhatikan:
P(A)=(n(A))/(n(S))=4/52 dan P(B∖A)=(n(B))/(n(S)-1)=4/51

Atau

P(B)=(n(B))/(n(S))=4/52 dan P(A∖B)=(n(A))/(n(S)-1)=4/51

Maka;
P(A∩B atau B∩A)=P(A∩B)+P(B∩A)
=(P(A)xP(B∖A) )+(P(B)xP(A∖B) )
=(4/52 x 4/51)+(4/52+4/51)
=8/663





Sumber
www.google.com
Sitorus, Ronal H.N. Cunayah, Cucun S.Pd, Ringkasan Matematika untuk SMA/MA,
Bandung: Yrama Widya, 2005.






MAKALAH
KONSEP DASAR MATEMATIKA II
PELUANG
Disusun untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Matematika



Disusun oleh:
Setyo Nanang Tri Biantoro (292008024/G)
Alustina Isyuniarsih (292008090/G)
Hermawan (292008191/G)
Lita Riswiarti (292008211/G)


FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
S1 PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA
SALATIGA





Teori Peluang

Hitung peluang mula-mula dikenal pada abad ke-17 yang bermula dari permainan sebuah dadu yang dilempar.Peluang (kemungkinan,probability) dari permukaan dadu yang tampak ketika dilempar,diamati dan dihitung,perhitungan sejenis ini berkembang cukup pesat menjadi teori peluang yang banyak pemakaiannya dalam kehidupan sehari-hari.Dalam bepergian kita sering mempertanyakan apakah terjadi hujan hari ini.Dalam berdagang kita selalu berfikir tentang kemungkinan untuk mengambil keuntungan.


Pengertian Dasar

Ruang Sampel
Ruang sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan,biasanya dilambangkan dengan S.
Contoh:
Ada 2 uang logam dan 1 buah dadu
Pelemparan uang logam 1 kali
Ruang sampel : S = { A, G }
P adalah kejadian yang diharapkan muncul gambar, maka P = {G}
Pelemparan 2 uang logam secara bersama-sama
Ruang sampel : S = { AA,AG,GA,GG}
A = kejadian muncul angka semua = {AA}
Dadu dilempar sebanyak 2 kali
Ruang sampel :
A= kejadian jumlah mata dadu yang tampak pada lemparan pertama dan kedua sama dengan B
= {(2,6); (3,5); (4,4); (5,3); (6,2) }
B=kejadian mata dadu yang tampak pada lemparan pertama dan lemparan kedua hasilnya sama
= {(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5);(6,6)}
C=kejadian mata dadu yang tampak pada lemparan kedua adalah 4
={(1,4);(2,4);(3,4);(4,4);(5,4);(6,4)}


Kejadian
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel.Kejadian dapat terdiri dari satu titik sampel yang disebut kejadian sederhana,sedangkan kejadian yang terdiri dari lebih dari titik sampel disebut kejadian majemuk.
Jadi kejadian majemuk merupakan gabungan dari beberapa kejadian sederhana.

Ruang Nol
Ruang nol adalah himpunan bagian dari ruang sampel yang tidak memuat anggota.
Elemen atau anggota dari ruang sampel dinamakan titik sampel.


Gambar 1. Ruang Sampel
Gambar 1 merupakan diagram ruang sampel S={a, b, c, d, e, f, g} yang terdiri dari titik sampel a, b, c, d, e, f, dan g. Kejadian A={a, b, c}, kejadian B={b, c, d, e}, kejadian C={c, d, f}, dan D={e} merupakan kejadian bagian dari ruang sampel S.

Irisan Dua Kejadian
Irisan Dua Kejadian A dan B, dinotasikan dengan A N B, adalah kejadian yang memuat semua titik sampel yang ada di A dan juga ada di B. Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian saling terpisah (saling asing) apabila dua kejadian tersebut tidak memiliki unsur persekutuan, atau A N B = { }. Untuk ruang sampel pada Gambar 1.1.1, A N B = {b, c}, A N C = {c}, A N D = { }, B N C = {c, d}, B N D = {e}, dan C N D = { }. Kejadian A dan D dikatakan saling terpisah.

Gabungan Dua Kejadian
Gabungan dua kejadian A dan B, dinotasikan dengan A U B , adalah kejadian yang memuat semua titik sampel yang ada di A atau B. Untuk ruang sampel pada Gambar 1.1.1, A U B = {a, b, c, d, e}, A U C = {a, b, c, d, f}, A U D = {a, b, c, e}, B U C = {b, c, d, e, f}, B U D = {b, c, d, e}, dan C U D = {c, d, e, f}.

Komplemen Suatu Kejadian
Komplemen suatu kejadian A, dinotasikan dengan A', adalah himpunan semua titik sampel di S yang bukan anggota A. Untuk ruang sampel pada Gambar 1.1.1, A' = {d, e, f, g} dan B' = {a, f, g} .
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, kemungkinan hasil percobaannya adalah:
Jika ditinjau dari angka yang muncul maka ruang sampelnya adalah
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Elemen 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 merupakan titik sampel.
Jika ditinjau dari keadaan angkanya maka ruang sampelnya adalah
S = {genap, gasal}
Elemen genap atau gasal merupakan titik sampel.
Pada percobaan pengambilan sebuah kartu bridge, kemungkinan hasil percobaannya adalah
Jika ditinjau dari jenis kartu maka ruang sampelnya adalah
S = {♠, ♣, ♥, ♦}
Jika ditinjau dari warna kartu maka ruang sampelnya adalah
S = { merah, hitam }
Percobaan pelemparan 2 buah mata dadu, ruang sampel-nya adalah
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
Jika A adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama dengan 1 maka A = { }, kejadian mustahil.
Jika B adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama dengan 7 maka B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}.
Jika C adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama dengan 11 maka C = {(5,6), (6,5)}.
Jika D adalah kejadian munculnya mata dadu pertama adalah 5 maka
D = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}.
Irisan kejadian A dan B adalah A N B = {}.
Irisan kejadian B dan C adalah B N C = {}.
Irisan kejadian C dan D adalah C N D = {(5, 6)}.
Gabungan kejadian A dan B adalah A U B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} = B.
Gabungan kejadian B dan C adalah B U C = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (5,6), (6,5)}.
Gabungan kejadian C dan D adalah C U D = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,5)}.


Kaidah Pencacahan
Dalam setiap permasalahan mengukur ketidak pastian itu disebabkan karena suatu tindakan menghasilkan kadang-kadang satu akibat kadang-kadang pula akibat yang lain. Umpamanya kalau sebutir dadu digulingkan sebagai akibatnya dapat timbul sisi bermata 1,2,3,4,5,atau 6. Mana sisi yang timbul mana tidak dapat dikatakan dengan pasti
Akibat melempar dadu ada salah satu dari 6 kejadian yang terjadi,yaitu munculnya mata 1,2,3,4,5,dan 6. Kegiatan melempar dadu dinamakan suatu tindakan itu dapat diulang beberapa kali. Dan rangkaian titik itu disebut suatu percobaan. Tindakan yang dilakukan satu kali pun disebut suatu percobaan.
Aturan pengisian tempat yang tersedia
Misalkan terdapat 5 buah tempat duduk yang tersedia untuk 5 orang yang akan mendudukinya,maka banyaknya cara (susunan) orang yang duduk ditempat duduk itu adalah : 5x4x3x2x1 cara= 120 cara (susunan)
Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut:
Orang pertama memiliki 5 pilihan tempat duduk (5 cara)
Orang ke-2 memiliki 4 pilihan tempat duduk (4cara)
Orang ke-3 memiliki 3 pilihan tempat duduk(3 cara)
Orang ke-4 memiliki 2 pilihan tempat duduk (2 cara)
Orang ke-5 memiliki 1 pilihan tempat duduk (1cara)
Jadi, banyaknya cara (susunan) untuk mengisi 5 buah tempat duduk tempat tersebut adalah 120 cara. Jika terdapat n buah tempat yang akn di tempati olleh n orang maka banyaknya cara (susunan) untuk mengisi tempat itu adalah:




Notasi Faktorial
Untuk tiap n bilangan asli, sebagai n faktorial (notasi n)
Didefinisikan:



n! = 1 dan 0! = 1
Contoh: 0! = 1

1!=1
2!=2x1=2
3!=3x2x1=6
4!=4x3x2x1=24
5!5x4x3x2x1=120
Permutasi
Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur itu berbeda) adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan.
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia dinyatakan dengan notasi nPr .Cara penulisan notasi lainnya:
nPr 〖,P〗_r^n , atau P(n,r)
Permutasi unsur-unsur yang berbeda
Banyaknya permutasi dari 3 huruf yang berbeda A,B,dan C adalah susunan ketiga huruf itu dengan urutan yang berbeda,yakni:
ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,dan CBA
Atau sebanyak 3x2x1=6 susunan yang berbeda.Tiap susunan disebut permutasi 3 unsur yang diambil dari 3 unsur yang tersedia:P(3,3)
Secara umum dapat disimpulkan bahwa:
Banyaknya permutasi n unsur adalah:




Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia adalah:




Permutasi dengan beberapa unsur yang sama
Banyaknya permutasi dari 3 huruf yang sebagian sama A,A,dan B dapat ditentukan dengan pendekatan 3 huruf yang berbeda,yaitu dengan cara membubuhkan indeks pada unsur yang sama,menjadi:A1,A2 , dan B.
Banyaknya permutasi dari 3 huruf yang berbeda:
A1A2B,A1BA2,A2A1B,A2BA1,BA1A2,dan BA2A1 karena A1 sama dengan A2,maka bila indeks dihilangkan,bahwa permutasi:
A1A2B dan A2A1B adalah permutasi AAB.
A1BA2 dan A2BA1 adalah permutasi ABA.
BA1A2 dan BA2A1 adalah permutasi BAA.
Jadi,banyaknya permutasi 3 huruf (A,A,dan B) dengan 2 huruf yang sama adalah=3 susunan.
Secara umum dapat disimpulkan bahwa:
Banyaknya permutasi=(Permutasi unsur yang tersedia)/(permutasi unsur yang sama)
Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k unsur yang sama (k≤n),dapat ditentukan dengan rumus:




Dengan: n=banyaknya unsur yang tersedia
k=banyaknya unsur yang sama
Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k unsur yang sama dan l unsur yang sama lainnya (k+1≤n) dapat ditentukan dengan rumus:

Permutasi Siklis
Banyaknya permutasi dari 3 huruf A,B,dan C yang disusun pada suatu kurva tertutup yang berbentuk lingkaran,dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:






Jadi banyaknya susunan dari 3 huruf A,B,dan C yang disusun pada kurva berbentuk lingkaran adalah (3-1)!=2!=2 susunan.
Penempatan unsur-unsur yang tersedia pada suatu kurva berbentuk lingkaran seperti diatas disebut permutasi siklis atau permutasi sirkuler.
Secara umum dapat disimpulkan bahwa:
Banyaknya permutasi siklis dari n unsur yang tersedia,dapat ditentukan dengan rumus:



Kombinasi
Kombinasi dari sekumpulan unsur adalah cara penyusunan unsue tersebut secara berbeda tanpa memperhatikan urutannya.
Jadi suatu kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur ini berbeda) adalah suatu pilihan dari r unsur tadi tanpa memperlihatkan urutannya.
Dilambangkan dengan:nCr atau [■(n@r)] atau C(n,r).Banyaknya permutasi r unsur yang dari n unsur yang tersedia,dengan memperhatikan urutannya adalah:




Banyaknya kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia,tanpa memperhatikan urutannya adalah:




Kaidah Perkalian
Sebelum menuju ke kaidah perkalian kita awali dengan pengamatan percobaan sederhana. Sebuah diagram pohon dapat digunakan dalam perhitungan ruang sampel. Misalnya pada percobaan 2 kali pelemparan sebuah mata uang. Himpunan hasil yang mungkin dapat diperoleh oleh seluruh garis yang ditunjukkan dalam diagram pohon berikut:


Gambar 1.2.1 Diagram pohon untuk dua kali lemparan mata uang
Dalam setiap percobaan ada 2 kemungkinan hasil angka (A) atau gambar (G). Percobaan dengan 2 kali pelemparan mata uang didapat hasil sebanyak 22 = 4 buah titik sampel. Jadi ruang sampel S = {GG, GA, AG, AA}.
Contoh :
Jika dari kota A menuju kota B ada 3 jalan yaitu jalur p, q, atau r sedangkan dari kota B ke kota C ada 2 jalan yaitu jalur a atau b maka dari kota A ke kota C dapat ditempuh melalui 3 x 2 jalur yang berbeda, yaitu:
S = { (p ,a), (p ,b), (q ,a), (q ,b), (r ,a), (r ,b) }
Selanjutnya akan kita pelajari suatu kaidah yang berkaitan dengan percobaan seperti contoh di atas.
Dalam melakukan dua percobaan, kaidah perkalian mengatakan bahwa:
Jika satu percobaan memiliki m hasil yang mungkin dan percobaan yang lain memiliki n hasil yang mungkin, maka jika dua percobaan tersebut dilakukan bersamaan memiliki mn hasil yang mungkin.
Secara umum, dikatakan bahwa:
Misalkan r percobaan dapat dilakukan. Jika percobaan ke-i memiliki ni hasil yang mung-kin, 1ir, maka jika semua percobaan itu dilakukan bersamaan memiliki n1, n2, n3, ..., nr hasil yang mungkin.
Sebuah komite yang terdiri atas 2 orang masing-masing mewakili siswa kelas 1 dan kelas 2 akan dipilih. Jika calon dari kelas 1 ada 6 orang dan calon dari kelas 2 ada 4 orang, maka ada 6 × 4 = 24 komite berbeda yang dapat dipilih.
Bila sepasang dadu dilemparkan sekali, berapa banyak titik sampel dalam ruang sampelnya ?.
Penyelesaian :
Jika sepasang dadu dilemparkan satu kali maka dadu pertama akan muncul 6 cara sedangkan dadu kedua .akan muncul 6 cara juga
Dengan demikian, sepasang dadu tersebut dapat terjadi dalam 6 × 6 = 36 cara.
Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar secara bersamaan, hasil yang mungkin adalah:
Untuk dadu; jika hasil dari lemparan mata dadu adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, maka ada 6 hasil yang mungkin,
Untuk uang logam; jika hasil lemparan uang logam ada gambar dan angka, maka ada 2 hasil yang mungkin.
Sehingga dengan kaidah perkalian diperoleh banyaknya elemen dari ruang sampel ada 6 × 2 = 12 hasil yang mungkin.
Diketahui empat angka 1, 3, 4, 9 tentukan banyaknya bilangan yang dapat dibuat dari angka tersebut yang terdiri dari
a. 2 angka / digit.
b. 2 angka tetapi tidak boleh ada angka yang sama.
Penyelesaian :
Untuk mempermudah sediakan dua kotak yang akan diisi jumlah kemungkinan tiap kotak, yaitu kotak pertama untuk letak angka puluhan dan kotak kedua untuk angka satuan.

Gambar 1.2.2 Menyusun dua angka pada deretan dua kotak
Kotak pertama ada 4 kemungkinan angka. Kotak kedua ada 4 kemungkinan, karena angka yang muncul di kotak pertama boleh muncul di kotak kedua. Jadi banyaknya bilangan yang dimaksud adalah 4 × 4 = 16.
Dengan cara yang sama dengan penyelesaian soal 1, tetapi karena tidak boleh sama angkanya maka kalau angka puluhan sudah muncul kemungkinan angka satuannya berkurang satu dan jumlah kemungkinannya adalah 4 × 3 = 12.

Kaidah Penjumlahan
Dalam melakukan dua percobaan, kaidah penjumlahan mengatakan bahwa:
Jika satu percobaan memiliki m hasil yang mungkin dan percobaan yang lain memiliki n hasil yang mungkin, maka ada m+n hasil yang mungkin jika tepat satu percobaan dilakukan.
Secara umum, dikatakan bahwa:
Misalkan r percobaan dapat dilakukan. Jika percobaan ke-i memiliki ni hasil yang mungkin, maka ada n1+n2+n3+…+nr hasil yang mungkin jika tepat satu percobaan dilakukan.
Contoh :
Sebuah bola diambil dari sebuah mangkuk yang berisi 4 bola merah dan dari sebuah kaleng yang berisi 6 bola putih yang masing-masing bernomor. Hasil yang mungkin adalah: untuk mangkuk ada 4 hasil dan untuk kaleng ada 6 hasil. Sehingga dengan kaidah penjumlahan, hasil yang mungkin ada 4 + 6 = 10.
Sebuah program komputer memiliki input yang valid berupa sederetan huruf atau angka yang disebut string. String ini hanya terdiri dari 4 huruf atau angka, atau panjang string adalah 4. Berapa banyak input untuk program tersebut yang mungkin?
Penyelesaian:
Jika huruf atau angka dalam sebuah string boleh sama, maka: String huruf ada sebanyak : 26×26×26×26 = (26)4 = 456.976. String angka ada sebanyak: 10×10×10×10 = (10)4 = 10.000. Sehingga dengan kaidah penjumlahan, banyaknya string input adalah 456.976 + 10.000 = 466.976
Jika huruf atau angka dalam sebuah string tidak boleh sama, maka: String huruf ada sebanyak : 26×25×24×23 = 358.800.
String angka ada sebanyak: 10×9×8×7 = 5.840.
Sehingga dengan kaidah penjumlahan, banyaknya string adalah 358.800 + 5.840 = 364.640

PELUANG SUATU KEJADIAN
Pada pelemparan sebuah dadu, setiap mata dadu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul. Karena banyak mata dadu ada 6, maka peluang muncul setiap mata dadu 5 adalah □(1/6), yaitu peluang muncul mata dadu 5 adalah □(1/6) dan peluang muncul mata dadu 6 adalah □(1/6), serta
peluang muncul salah satu dari mata dadu 5 atau 6 adalah □(2/6)
Secara umum, peluang kejadian A dapat dirumuskan sebagai berikut ini
P(A) = □(((n(A)))/((n(S))))
n(A) = banyak anggota himpunan A (kejadian)
n(S) = banyak anggota himpunan S (ruang sampel)

contoh soal... contoh soal-peluang suatu kejadian
Percobaan: Pelemparan mata uang logam satu kali
n(S) = 2
A = kejadian muncul hasil gambar
n(A) = 1
P(A) = □((n(A))/n(s) )=□(1/2)
Percobaan : Peleparan satu mata uang logam dua kali
n(S) = 4
A = kejadian hasil pelemparan adalah angka semua
n(A) = 2
P(A)= □((n(A))/(n(S)))=□(2/4)=□(1/2)
Menghitung Peluang Dengan Pendekatan Frekuensi
Pada percobaan melempar sekeping mata uang logam,yang disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut:
Banyaknya lemparan 10 15 20 25 30
Frekuensi munculnya gambar 4 8 11 12 16
Frekuensi relatif munculnya gambar □(4/10) □(8/15) □(11/20) □(12/25) □(16/30)
~
Pada lemparan sebanyak 100 kali,frekuensi munculnya gambar 4+8+11+12+16=51.
Jadi frekuensi nisbi (relatif)=□(51/100)=0,51
Frekuensi nisbi (relatif) dari munculnya hasil yang dimaksud adalah perbandingan antara banyaknya hasil yang dimaksud muncul dengan banyaknya percobaan yang dilakukan.
Dengan pengertian bahwa nilai peluang suatu kejadian dapat didekati dengan frekuensi relatif suatu kejadian,dapat dirumuskan sebagai berikut:
Bila suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali.Ternyata kejadian A muncul sebanyak k kali,maka frekuensi relatif munculnya kejadian A atau F(A)



Bila nilai n makin besar tak terhingga maka nilai □(k/n) cendrung konstan mendekati nilai tertentu.Nilai tertentu ini adalah peluang munculnyakejadian A atau P(A),yakni:






Menghitung Peluang Dengan Pendekatan Defenisi Peluang Klasik
Pada percobaan melempar sekeping mata logam secara berulang-ulang,maka frekuensi relatif munculnya sisi gambar (G) dan sisi gambar angka (A) mempunyai kesempatan yang sama yakni mendekati nilai □(1/2)
P(G)= □(1/2) P(G)=P(A)= □(1/2)

P(A)=□(1/2)

Definisi peluang klasik:
Misalkan dalam suatu percobaan menyebabkan dapat munculnya salah satu dari n hasil yang mempunyai kesempatan yang sama.dari n hasil tadi,kejadian A muncul sebanyak k hasil,maka peluang kejadian A atau P(A) adalah :

Definisi peluang dapat juga ditetapkan dengan memanfaatkan pengertian ruang contoh sebaagai berikut:
- jika s adalah ruang c

FREKUENSI HARAPAN ( FH )
Frekuensi harapan yaitu banyak kejadian atau peristiwa yang diharapkan dapat terjadi pada sebuah percobaan.
Rumus:



Keterangan:
Fh ( A ) : Frekwensi harapan suatu kejadian A
P ( A ) : Peluang kejadian A
n : Banyaknya suatu kejadian

Contoh :
Jika suatu uang logam dilempar sebanyak 30 kali.Hitunglah frekwensi harapan munculnya sisi ( A ).
Penyelesaian :
Peluang munculnya angka ( A )
P ( A ) = □(1/2)
dilempar sebanyak 30 kali,maka frekwensi harapannya yaitu:
Fh ( A ) = □(1/2) x 30
= 15

Jika sebuah dadu berisi enam dilempar sebanyak 30 kali berturut-turut,maka hitunglah frekwensi harapan munculnya:
Mata dadu 5
Mata dadu prima
Penyelesaian:
Peluang munculnya mata dadu 5
P ( 5 ) = □(1/6)
Fh ( 5 ) = P ( 5 ) x n
= □(1/6) x 30
= 5


Peluang munculnya mata dadu prima
P (prima) = □(3/6)=□(1/2)
Fh (prima) = P (prima) x n
= □(1/2) x 30
= 15

PELUANG KOMPLEMEN SUATU KEJADIAN

Komplemen dari kejadian A adalah himpunan semua anggota ruang sampel yang bukan anggota dari kejadian A
Diperoleh hubungan berikut:
A’ = S – A
n(A’) = n(S) – n(A)
□(((n(A')))/((n(S))))=□(((n(S)))/((n(S))))=□(((n(A)))/((n(S))))
P(A’) = 1 – P(A)
Simpulan:
Rumus komplemen dari kejadian A adalah :




Contoh :
Peluang kesebelasan Indonesia memenangkan pertandingan adalah 0,75. Peluang kesebelasan Indonesia tidak memenangkan pertandingan adalah:

P(A') = 1-P(A)
= 1 - □(75/100=□((100-75)/100)) □(=25/100)=0,25


Percobaan pelemparan dua buah dadu
Banyak hasil yang mungkin:
n(S) = 12
A = kejadian muncul mata dadu yang jumlahnya 12
n(A) = 1
P(A) = □(n(A)/n(S) )=□(1/36)
A' = kejadian muncul mata dadu yang jumlahnya bukan 12


P(A') = 1 - P(A)
= 1 - □(1/36=) □((36-1)/36=) □(35/36)=0,972

Jadi, peluang muncul mata dadu yang jumlahnya bukan 12 adalah 0,972


ATURAN PENJUMLAHAN DALAM PELUANG KEJADIAN MAJEMUK
Contoh:
Pelemparan dadu saat sekelompok orang bermain ular tangga
Peluang hasil lemparan muncul mata dadu 5 :
P(A1) = □(1/6)
Peluang hasil lemparan muncul mata dadu 6:
P(A2) = □(1/6)
A = hasil lemparan muncul mata dadu lebih dari 4 = {5,6}
P(A) = □(2/6)=□(1/6)+□(1/6)=P(A1)+P(A2)
Jadi,peluang hasil lemparan muncul mata dadu 5 atau muncul mata dadu 6 dapat ditentukan dengan menjumlahkan masing-masing peluang kejadiannya.
Diketahui S suatu ruang sampel dari suatu percobaan A dan B merupakan kejadian dalam ruang sampel S
Sifat himpunan:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
□((((A∪B)))/((n(S))))=□(((n(A)))/((n(S))))+□(((n(B)))/((n(S))))-□(((n(A∩B)))/((n(S))))
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Apabila A dan B merupakan dua kejadian yang saling lepas, yaitu A ∩ B = ∅ , maka berlaku
n(A ∩ B) = 0
A ∩ B) = □(((n(A ∩ B)))/((n(S))))
=0
Sehingga:
P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - (A ∩ B)
= P(A) + P(B) – 0
= P(A) + P(B)
Dari satu paket kartu remi, diambil satu buah kartu n(S)= 52
Berapa peluang terambil kartu hati atau kartu as?
A = kejadian terambil kartu hati
n(A) = 13
P(A)= (n(A))/(n(S))=□(13/52)=□(1/4)
B= kejadian terambil kartu as
n(B) = 4
P(B) = (n(B))/(n(S))=4/52=1/13
A ∩ B = terambil kartu as hati
n(A ∩ B) = 1
P(A ∩ B) = (n(A ∩ B))/(n(S))=1/52
Jadi, peluang terambil kartu hati atau kartu as adalah :
P(AUB)= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= 13/52 +4/52-1/52
= 16/52



ATURAN PERKALIAN DALAM PELUANG KEJADIAN MAJEMUK
Secara umum, apabila diketahui:
Percobaan I dengan ruang sampel S1 dan A1 merupakan kejadian
Percobaan II dengan ruang sampel S2 dan A2 merupakan kejadian setelah A1 terjadi, serta
Kejadian A1 ∩ A2 : A1 dan A2 keduanya terjadi
Maka diperoleh :

n(A1 ∩ A2) = n(A1) x n(A2)
n(S) = n(S1) x n(S2)
P(A1 ∩ A2) = ((n(A_1 ∩ A_2 ) ))/(( n(S)))=((n(A_1 )x n(A_2 )))/((n(S_1 ) )x n(S_2)))
= ((n(A_1 )))/((n(S_1 ))) x ((n(A_2 )))/((n(S_2 )))
= P(A1) x P(A2)


Jadi, jika peluang kejadian A1 adalah P(A1) dan peluang kejadian A2 adalah P(A2), maka peluang kejadian A1 dan A2 sekaligus terjadi adalah:





Contoh :
Suatu kotak berisi 4 bola merah dan 6 bola putih
Dari kotak tersebut diambil satu bola, dikembalikan, kemudian diambil satu bola lagi. Tentukan peluang terambil bola merah pada pengembalian pertama dan kedua.
Jawab:
Banyak hasil yang mungkin : n(S1) = 10
A1 = Kejadian terambil bola merah
Banyak hasil yang diharapkan: n(A1)= 4
Bola pengembalian I dikembalikan, kemudian dilakukan pengembalian II:
Banyak hasil yang mungkin : n(S2) = 10
A2 = Kejadian terambil bola merah
Banyak hasil yang diharapkan : n(A2) = 4
Percobaan: dilakukan pengambilan I dan II
Banyak hasil yang mungkin:
n(S) = n(S1) x n(S2)
= 10 x 10
= 100
A1 ∩ A2 = kejadian terambil bola merah pada pengambilan I dan II
Banyak hasil yang diinginkan:
n(A1 ∩ A2) = n(A1) x n(A2)
= 4 x 4
= 16
Peluang kejadian A terjadi adalah:
P(A1 ∩ A2) = (n(A1 ∩ A2)/)/(n(S))=16/100=8/50
Jadi, peluang terambil bola merah pada pengambilan I dan II adalah 8 : 50
Dari kotak di atas diambil satu bola, tanpa dikembalikan, kemudian diambil satu bola lagi. tentukan peluang terambil bola merah pada pengambilan I dan II
jawab:
Pengambilan I:
banyak hasil yang mungkin: n(S1) = 10
A1 = kejadian terambil bola merah
Banyak hasil yang diharapkan: n(A1) = 4
Bola hasil pengambilan I tidak dikembalikan, kemudian dilakukan pengambilan II:
Banyak hasil yang mungkin : n(S2) = 9
A2 = kejadian terambil bola merah
Banyak hasil yang diharapkan: n(A2) = 3
Percobaan : dilakukan pengambilan I dan pengambilan II
Banyak hasil yang mungkin:
n(S) = n(S1) x n(S2)
= 10 x 9
= 90
A1 ∩ A2 = kejadian terambil bola merah pada pengambilan I dan II
Banyak hasil yang diharapkan:
n(A1 ∩ A2) = n(A1) x n(A2)
= 4 x 3
= 12
Peluang kejadian A terjadi adalah :
P(A1 ∩ A2) = (n(A1 ∩ A2))/(n(S))=12/90
Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan rumus :






Pengambilan dengan pengembalian
Peluang terambil bola merah pada pengambilan I:
P(A1) = 4/10
Peluang terambil bola merah pada pengambilan II:
P(A2) = 4/10
Peluang terambil bola merah pada pengambilan I dan II:
P(A) = P(A1) x P(A2)
= 4/10×4/10=16/100
Pengambilan tanpa pengembalian
Peluang terambil bola merah pada pengambilan I:
P(A1) = 4/10
Peluang terambil bola merah pada pengambilan II:
P(A2) = 3/9
Peluang terambil bola merah pada pengambilan I dan II:
P(A) = P(A1) x P(A2)
= 4/10 x 3/9
= 12/90
PELUANG KEJADIAN BEBAS Dan TAK BEBAS
Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika



Contoh:
Dalam tas I terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam. Dalam tas II terdapat 3 bola putih dan 5 bola hitam.
Sebuah bola diambil dari masing-masing tas.
a) Keduanya berwarna putih
b) Keduanya berwama hitam
Jawab:
Misal
A = bola putih dari tas I
B = bola putih dari tas I
P(A) = □(4/6)
P(B) = □(3/8)




_ _
P(A) = □(2/6) P(B) = □(5/8)
a. P(A n B) = P (A) . P (B) = □(4/6) .□(3/8)=□(1/4)
_ _ _ _
b. P((A) n P(B)) = P(A). P(B) = □(2/6) .□(5/8)=□(5/24)

Jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka berlaku





Contoh:
Pada pelemparan sebuah dada merah (m) dan sebuah dadu putih (p).
Maka: S={(1,1), (1,2), .....,(1,6), (2,1),(2,2),.....(6,6)}
n(S) - (6)2 = 36
A : Kejadian muncul m + p = 6 {(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)}
n(A) = 5
B : Kejadian muncul m + p = 10 {(4,6), (5,5), (6,4)}
n(B) = 3
P(A) = □(5/36) P(B) = □(3/36)
AUB :Kejadian muncul m + p = 6 atau m + p = 10 { (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (4,6) (5,1) (5,5) (6,4) }
n(AUB) = 8
P(AUB) = □(8/36) =P(A) + P(B)
A dan B kejadian yang saling asing.

Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling asing maka berlaku


Contoh:
Dalam pelemparan sebuah dada S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan ganjil = { 1, 3, 5 } n(A) = □(3/6)
B : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan prima = {2, 3, 5} n(B) = □(3/6)
P(AUB) = □(4/6) =P(A) + P(B)
A dan B kejadian yang tidak saling asing.

PELUANG KEJADIAN BERSYARAT
Suatu kejadian bersyarat bila suatu kejadian B mempengaruhi atau terjadi dengan syarat kejadian A terjadi lebih dahulu.
RUMUS:
Peluang kejadian B mempengaruhi A ditulis:
P(B∖A),maka




Contoh:
Dari seperangkat kartu bridge diambil satu kartu secara berturut-turut sebanyak dua kali.Tentukan peluang bahwa yang diambil:
a.Pertama AS dan kedua King
b.Salah satu AS dan King
Penyelesaian:
a.Urutan diperhatikan,maka:
P(A)=(n(A))/(n(S))=4/52
P(B∖A)=(n(B))/(n(S)-1)=4/51
n(S)-1 karena satu kartu sudah diambil dan tidak dikembalikan lagi,sehingga:
P(A∩B)=P(A)xP(B∖A)=4/52 x 4/51=4/663

b.Urutan tidak diperhatikan:
P(A)=(n(A))/(n(S))=4/52 dan P(B∖A)=(n(B))/(n(S)-1)=4/51

Atau

P(B)=(n(B))/(n(S))=4/52 dan P(A∖B)=(n(A))/(n(S)-1)=4/51

Maka;
P(A∩B atau B∩A)=P(A∩B)+P(B∩A)
=(P(A)xP(B∖A) )+(P(B)xP(A∖B) )
=(4/52 x 4/51)+(4/52+4/51)
=8/663





Sumber
www.google.com
Sitorus, Ronal H.N. Cunayah, Cucun S.Pd, Ringkasan Matematika untuk SMA/MA,
Bandung: Yrama Widya, 2005.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar